已知双曲线C的中心在原点，D是它的一个顶点，d=(1，2)是它的一条渐近线的一个方向向量．求双曲线C的方程；若过点任意作一条直

题文

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，d=(1，2)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：DA•DB为定值；
（3）对于双曲线Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y²=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)及它的顶点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，则a=1，
又ba=2，得b=2，所以，双曲线C的方程为x2-y22=1．
（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），DA=(-4，4)，DB=(-4，-4)，得DA•DB=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由y=k(x+3)2x2-y2=2得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=6k22-k2，x1•x2=-9k2-22-k2，
故DA•DB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)
=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1．
=(k2+1)-9k2-22-k2+(3k2-1)6k22-k2+9k²+1=0．综上，DA•DB=0为定值．
（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．
设直线MN的方程为：x=my+t，
由x=my+tb2x2-a2y2=a2b2，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=-2b2mtb2m2-a2，y1y2=b2(t2-a2)b2m2-a2，
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0，
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)b2(t2-a2)b2m2-a2-m(t-a)2b2mtb2m2-a2+(t-a)2=0，
化简得，t=a(a2+b2)a2-b2或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（a(a2+b2)a2-b2，0）．
情形一：在双曲线Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0，a≠b)中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（-a(a2+b2)a2-b2，0）．
情形二：在抛物线y²=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）
情形三：（1）在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（a(a2-b2)a2+b2，0）；
（2）在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（a(b2-a2)a2+b2，0）；
（3）在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，b(b2-a2)a2+b2）；        
（4）在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，b(a2-b2)a2+b2）．

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。