已知抛物线y2=4x，过点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．若OA•OB=4，求直线AB的方程．若线段AB的垂直平分线交x轴于点

题文

已知抛物线y²=4x，过点（0，-2）的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若OA•OB=4，求直线AB的方程．
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），求n的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设直线AB的方程为y=kx-2，k≠0，
代入y²=4x中得k²x²-（4k+4）x+4=0，①
设Ax₁，y₁），B（x₂，y₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=4k+4k2，x1x2=4k2，
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=-8k．
∵OA•OB=（x1 ，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=4k2-8k=4，
∴k²+2k-1=0，
解得k=-1+2．
又由方程①的判别式△=（4k+4）²-16k²=32k+16＞0，
得k＞-12．
∴k=-1+2，
∴直线AB的方程为(2-1)x-y-2=0．
（2）设线段AB的中点坐标为（x₀，y₀），
则由（1）知x0=x1+x22=2k+2k2，
y0=kx0-2=2k，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2k=-1k（x-2k+2k2）．
∵线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），
∴令y=0，得n=2+2k+2k2=2k2+2k+2=2（1k+12）²+32，
又∵k＞-12，且k≠0，∴1k＜-2，或1k＞0，
∴n＞2（0+12）²+32=2．
∴n的取值范围是（2，+∞）．

解析

4k+4k2

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y2=4x，过点（0，-2）的.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。