在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-77，0)，B(77，0)，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，

题文

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-77，0)，B(77，0)，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN与AB共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，1）的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求PE•PF的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设（x，y），
∵MA+MB+MC=0，
∴M（x3，y3）．
又|NA|=|NB|且向量MN与AB共线，
∴N在边AB的中垂线上，
∴N（0，y3）．
而|NC|=7|NA|，
∴x²-y23=1（y≠0）．------（6分）
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，
代入x²-y23=1
得 （3-k²）x²-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k²+16（3-k²）＞0，
k²＜4k∈(-2，2)(k≠±3，±1)．------------------------------（4分）
而x₁，x₂是方程的两根，
∴x₁+x₂=2k3-k2，x₁x₂=-43-k2．
∴PE•PF=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=x₁x₂+kx₁•kx₂
=-4(1+k2)3-k2--------（2分）
即PE•PF=4（1+4k2-3） ∈(-∞，-4)∪(-4，-43]∪(20，+∞)
故PE•PF的取值范围为(-∞，-4)∪(-4，-43]∪(20，+∞)---------------（4分）

解析

MA

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。