设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，椭圆C上一点P到F1、F2两点的距离之和等于4．又直线l：y=12x

题文

设F₁、F₂分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，32）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．又直线l：y=12x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁，求△ABF₂的面积；
（Ⅲ）求OA • OB的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2．            （1分）
又点A（1，32）在椭圆上，∴14+(32)  2b2=1，解得b²=3．（2分）
∴椭圆C的标准方程是x24+y23=1．                                          （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）．                                    （4分）
∵直线l：y=12x+m经过点F₁（-1，0），
∴0=12×（-1）+m，∴m=12．                                               （5分）
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意，有
x24+y23=1y=12x+12，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=34，y₁y₂=-916．                                                （6分）
设△ABF₂的面积为S_ABF2，则
S_ABF2=12|F₁F₂||y₂-y₁|=12×2(y1+y2)  2-4y1y2 =916+3616=354
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由题意，有
x24+y23=1y=12x+m，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0  ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（12x₁+m）（12x₂+m）=14x₁x₂+12（x₁+x₂）m+m²
=14（m²-3）+12（-m）m+m²=34m²-34．                                      （10分）
∴OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+34m²-34=74m²-154，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m²＜4．     
∴-154≤OA•OB＜134．
∴OA•OB的取值范围是[-154，134）．                                          （14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。