已知椭圆C经过点A(1，32)，且经过双曲线y2-x2=1的顶点．P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，求椭圆C的方程；求|PF1|•

题文

已知椭圆C经过点A(1， 32)，且经过双曲线y²-x²=1的顶点．P是该椭圆上的一个动点，F₁，F₂是椭圆的左右焦点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值．
（3）求PF1•PF2的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）双曲线y²-x²=1的顶点为（0，1）
由题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2=1（a＞1），则将A(1， 32)代入可得1a2+34=1
∴a=2
∴椭圆C的方程为x24+y2=1；
（2）设|PF₁|=m，则|PF₂|=4-m，且2-3≤m≤2+3
∴|PF₁|•|PF₂|=m（4-m）=-（m-2）²+4
∴m=2时，|PF₁|•|PF₂|的最大值为4；m=2±3时，|PF₁|•|PF₂|的最小值为1；
（3）设P（x，y），则PF1•PF2=（-x-3，-y）•（3-x，-y）=x²+y²-3=14（3x2-8），
∵x∈[-2，2]
∴当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，PF1•PF2有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1•PF2有最大值1

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C经过点A(1，32)，且经过双.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。