已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且PF1•F1F2=0，⊙O是以F1F2为直径的圆

题文

已知F₁，F₂是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，22）在椭圆上，且PF1•F1F2=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B：
（I）求椭圆的标准方程；    
（II）当OA•OB=23时，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分14分）
（I）∵PF1•F1F2=0，
∴PF₁⊥F₁F₂，
∵F₁，F₂是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，点P（-1，22）在椭圆上，
∴c=1，1a2+12b2=1，a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程为x22+y2=1．
（II）∵直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，
∴|m|k2+1=1，解得m²=k²+1，
由x22+y2=1y=kx+m，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（8分）
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=m2-2k21+2k2
=1-k21+2k2，
OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=1+k21+2k2=23，
∴k=±1．

解析

PF1

考点

据考高分专家说，试题“已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。