已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线AB与x轴垂直时，求证：FP•FQ=0
（3）当直线AB的斜率为2时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意有2a=4，a=2，e=ca=12，c=1，b²=3
∴椭圆的标准方程为 x24+y23=1…（3分）
（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1
则A（1，32）B（1，-32），M（2，0）
AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，
AM，MP共线             …（4分）
可求P（4，-3），∴FP=(3，-3)，
同理：Q（4，3），FQ=(3，3)
∴FP•FQ=0命题成立．                     …（5分）
（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
联立y=2(x-1)x24+y23=1消y得 19x²-32x+4=0
∴x1+x2=3219，x1x2=419
∴y1y2=4(x1-1)(x2-1)=-3619…（7分）
又∵A、M、P三点共线，
∴y3=2y1x1-2同理y4=2y2x2-2
∴FP=(3，2y1x1-2)，FQ=(3，2y2x2-2)
∴FP•FQ=9+4y1y2x1x2-2(x1+x2)+4=0
综上所述：FP•FQ=0，结论仍然成立…（10分）

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。