已知两定点E，F，动点P满足PE•PF=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足PQ=2MQ，点M的轨迹为C．求曲线C的方程；

题文

已知两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足PE•PF=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足PQ=2MQ，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为22，求|AB|的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设P（m，n），则
∵两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足PE•PF=0，
∴（-2-m，-n）•（2-m，-n）=0，
∴m²+n²=2
设M（x，y），则
∵由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足PQ=2MQ，
∴P（x，2y）
∴x²+2y²=2
∴曲线C的方程为x22+y2=1；
（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=3． …（5分）
②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，
则原点O到直线l的距离为|m|1+k2=22，整理可得2m²=1+k²．…（6分）
由y=kx+mx22+y2=1消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意可得△＞0，
则x₁+x₂=-4km1+2k2，x₁x₂=2(m2-1)1+2k2．
∴|AB|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2=22•(1+k2)(1+2k2-m2)1+2k2…（8分）
∵2m²=1+k²，
∴2 （1+k²）（1+2k²-m²）=（1+k²）（2+4k²-2m²）=（1+k²）（1+3k²）≤（1+2k²）²，
等号当且仅当1+k²=1+3k²，即k=0时成立．
即22•(1+k2)(1+2k2-m2)1+2k2≤2．
所以k=0时，|AB|取得最大值2．…（12分）

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知两定点E（-2，0），F（2，0），.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。