已知点M、N，若动点P满足MN•MP=6|NP|．求动点P的轨迹C；在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离

题文

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足MN • MP=6|NP|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴MP=( x-4 ， y )，MN=( -3 ， 0 )，NP=( x-1 ， y )． …（3分）
由MN • MP=6|NP|，得-3( x-4 )=6( 1-x )2+( -y )2，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即x24+y23=1，
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l₁与直线l的距离．
设直线l₁的方程为x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）
由3x2+4y2=12x+2y+m=0，消去y得4x²+2mx+m²-12=0（*）．
依题意得△=0，即4m²-16（m²-12）=0，故m²=16，解得m=±4．
当m=4时，直线l₁：x+2y+4=0，直线l与l₁的距离d=|4+12|1+4=1655．
当m=-4时，直线l₁：x+2y-4=0，直线l与l₁的距离d=|-4+12 |1+4=855．
由于855＜1655，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为855．…（12分）
当m=-4时，方程（*）化为4x²-8x+4=0，即（x-1）²=0，解得x=1．
由1+2y-4=0，得y=32，故Q( 1 ， 32 )．                     …（13分）
∴曲线C上的点Q( 1 ， 32 )到直线l的距离最小．   …（14分）

解析

MP

考点

据考高分专家说，试题“已知点M（4，0）、N（1，0），若动点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。