定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y=62x和y=-62x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；求轨迹C的方程；设过点的直线l与轨迹C

题文

定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y=62x和y=-62x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动，TP•TQ为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，62x1)，B(x2，-62x2)，
则x₁+x₂=2x，x1-x2=4y6，代入|AB|=(x1-x2)2+64(x1+x2)2=26，
得轨迹C的方程为16y26+6x2=24，即y29+x24=1；
（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
则x3+x4=-8k4k2+9，x3•x4=-324k2+9；
设点T（0，t），则TP•TQ=x₃•x₄+（kx₃+1-t）•（kx₄+1-t）
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=-32(1+k2)-8k2(1-t)+(1-t)2(4k2+9)4k2+9
=[-40+8t+4(1-t)2]k2+[-32+9(1-t)2]4k2+9，
使TP•TQ为定值，则 -32+9(1-t)2-40+8t+4(1-t)2=94，
解得t=299，即对于点T(0，299)总有TP•TQ=16×79×9；
（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点T(0，299)也有TP•TQ=16×79×9，
故在y轴上存在定点T(0，299)使得TP•TQ为定值．

解析

62

考点

据考高分专家说，试题“定长等于26的线段AB的两个端点分别在直.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。