设椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M，离心率e=63，O为坐标原点．求椭圆C的方程．若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一

题文

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=63，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x²+y²=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：OA•OB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得e=ca=63a2=b2+c21a2+1b2=1，解得a2=4b2=43，
∴椭圆C的方程为x24+3y24=1．
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=|m|1+k2，
∴1+k²=m²．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立y=kx+mx24+3y24=1，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
设直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-41+3k2．
∴OA•OB=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•3m2-41+3k2+km(-6km1+3k2)+m2
=4m2-4-4k21+3k2
=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得OA•OB=0．
综合上述可得，OA•OB为定值0．

解析

e=ca=63a2=b2+c21a2+1b2=1

考点

据考高分专家说，试题“设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。