过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则OA•OB=______；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点__

题文

过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则OA•OB=______；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵抛物线y=12x2焦点F（0，12）
设过焦点F的直线AB的方程为y=kx+12，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程y=kx+12y= 12x2可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，y1y2=12x12 •12x22=(x1x2)24=14
∵OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=-34
设直线MN的方程为y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
联立方程y=mx+ny=12x2可得x²-2mx-2n=0
则c+c=2m，ac=-2n，bd=(ac)24=n²
∵OM⊥ON
∴OM•ON=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直线MN的方程为y=mx+2，从而可得直线MN过定点（0，2）
故答案为：-34；（0，2）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。