已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O为坐标原

题文

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．
（I）若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（II）在x轴上是否存在定点C，使CA•CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由条件知F₁（-2，0），F₂（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）设M（x，y），则F1M=(x+2，y)，F1A=(x1+2，y1)，F1B=(x2+2，y2)，F1O=(2，0)，
由F1M=F1A+F1B+F1O，得x+2=x1+x2+6y=y1+y2，即x1+x2=x-4y1+y2=y，
于是AB的中点坐标为(x-42，y2)，
当AB不与x轴垂直时，y1-y2x1-x2=y2x-42-2=yx-8，即y1-y2=yx-8(x1-x2)，
又因为A，B两点在双曲线上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
将y1-y2=yx-8(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）²-y²=4，
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也满足上述方程，
所以点M的轨迹方程是（x-6）²-y²=4．
（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使CA•CB为常数，
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x1+x2=4k2k2-1，x1x2=4k2+2k2-1，
于是CA•CB=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=(k2+1)(4k2+2)k2-1-4k2(2k2+m)k2-1+4k2+m2
=2(1-2m)k2+2k2-1+m2
=2(1-2m)+4-4mk2-1+m2．
因为CA•CB是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时CA•CB=-1，
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，-2)，
此时CA•CB=(1，2)•(1，-2)=-1，
故在x轴上存在定点C（1，0），使CA•CB为常数．

解析

F1M

考点

据考高分专家说，试题“已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。