曲线C是中心在原点，焦点为F(5，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=12x．求曲线C的方程；已知点E，若直线l与曲线C交于不

题文

曲线C是中心在原点，焦点为F(5，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=12x．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且EP•ER=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(x≥a，a＞0，b＞0)
∵一条渐近线方程是y=12x，c=5
∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲线C的方程是x24-y2=1(x≥2)…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由y=kx+mx24-y2=1，
此时1-4k²≠0
∴x1+x2=8km1-4k2＞0x1•x2=-4m2-41-4k2＞0…（7分）
由EP•ER=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•-4m2-41-4k2+（km-2）•8km1-4k2+m²+4=0
整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-10k3，或m=-2k…（10分）
当m=-2k时，直线L过点E，不合题意
当m=-10k3，则直线l的方程为y=kx-10k3=k(x-103)
则直线l过定点（103，0）…（12分）
②当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由EP•ER=0，
有x12-4x1+4-y21=0，又x214-y21=1
从而有x1=x2=103．此时直线L过点(103，0)
故直线l过定点(103，0)…（15分）

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“曲线C是中心在原点，焦点为F(5，0)的.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。