已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b与圆O相切并与椭圆x22+y2=1交于不同的两点A、B．设b=f，求f（

题文

已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆x22+y2=1交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；
（Ⅱ）若OA•OB=23，求直线l的方程；
（Ⅲ）若OA•OB=m（23≤m≤34），求△OAB面积S的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则|b|1+k2=1，
即b²=k²+1，k≠0，所以b=k2+1（b＞0）
∴f(k)=k2+1 (k∈R， k≠0)（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由y=kx+bx22+y2=1，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴x1+x2=-4kb2k2+1，x1x2=2b2-22k2+1（5分）
从而OA•OB=x1x2+y1y2=k2+12k2+1=23，∴k=±1
∴b=k2+1=2（7分）
∴直线l的方程为：±x-y+2=0．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：k2+12k2+1=m，又23≤m≤34
∴23≤k2+12k2+1≤34⇒12≤k2≤1（10分）
由弦长公式，得|AB|=k2+1•22k22k2+1=2k2(k2+1)2k2+1
又点O到直线AB的距离d=|b|k2+1=bk2+1=1
∴S=12|AB|•d=2k2(k2+1)2k2+1（12分）S2=2k4+2k24k4+4k2+1=12-12(2k2+1)2(12≤k2≤1)
∴64≤S≤23（14分）

解析

|b|1+k2

考点

据考高分专家说，试题“已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。