已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足PF1•PF2=0，|PF1|=2|PF2|．求

题文

（文）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，满足PF1•PF2=0，|PF1|=2|PF2|．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ） 过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当PQ•PR=2时，求双曲线的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设PPF₁=m，PF₂=n（m＞n）
∵PF1•PF2=0，|PF1|=2|PF2|．
∴m=2nm-n=2am2+n2=4c2
∴5a²=4c²
∴e=ca=52
（II）由（I）可得，b2=c2-a2=14a2
∴双曲线的方程x²-4y²=a²，渐进线方程为y=±12x
设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）
∵PQ•PR=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x²-4y²=2
∴a²=2，b2=12
∴双曲线方程为x22-2y2=1

解析

PF1

考点

据考高分专家说，试题“（文）已知双曲线x2a2-y2b2=1(.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。