已知平面上一定点C和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC+12PQ)•(PC-12PQ)=0．问点P在什么曲线上？

题文

已知平面上一定点C（2，O）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC+12PQ)•(PC-12PQ)=0．
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）若EF为圆N：x²+（y-1）²=1的任一条直径，求PE•PF的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）
∵(PC+12PQ)•(PC-12PQ)=0，得：4|PC|²=|PQ|²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化简得3x²+4y²=48，
∴点P的轨迹方程为x216+y212=1，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且NE=-NF
∴PE•PF=（PN+NE）•（PN+NF）=（PN+NF）•（PN-NF）=PN2-1
∵点P为椭圆x216+y212=1上的点，满足x²=16-4y23
∵N（1，0），∴PN2=x²+（y-1）²=-13（y+3）²+20
∵椭圆x216+y212=1上点P纵坐标满足 y∈[-23，23]
∴当y=-3时，PN2的最大值为20，故PE•PF=PN2-1的最大值等于19．

解析

PC

考点

据考高分专家说，试题“已知平面上一定点C（2，O）和直线l：x.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。