在△OAB中，若C为直线AB上一点，且AC=λCB(λ≠-1)，求证：OC=OA+λOB1+λ；若OA•OB=0，|OA|=|OB|=a，且C为线段

题文

在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且AC=λCB(λ≠-1)，求证：OC=OA+λOB1+λ；
（2）若OA•OB=0，|OA|=|OB|=a，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求OC•AB的值；
（3）若|OA|=1，|OB|=3，且P₁，P₂，P₃，…，P_n-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求OP1•AB+OP2•AB+…+OPn-1•AB的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由AC=λCB，得OC-OA=λ(OB-OC)．
即(1+λ)OC=OA+λOB，因为λ≠-1，所以OC=OA+λOB1+λ．（4分）
（2）OC•AB=OA+λOB1+λ(OB-OA)=1-λ1+λOA•OB+λ1+λOB2-11+λOA2（6分）
因为OA•OB=0，|OA|=|OB|=a，所以OC•AB=λ-1λ+1a2．
由于C为线段AB上靠近A的一个三等分点，故λ=12
所以OC•AB=-13a2（8分）
（3）OP1•AB+OP2•AB+…+OPn-1•AB=AB(OP1+OP2+…+OPn-1)
=AB(OA+1n-1OB1+1n-1+OA+2n-2OB1+2n-2+…+OA+n-1n-(n-1)OB1+n-1n-(n-1))（10分）
=AB[(n-1n+n-2n+…+1n)OA+(1n+2n+n-1n)OB]
=n-12(OB-OA)(OB+OA)=n-12(OB2-OA2)=n-1（14分）

解析

AC

考点

据考高分专家说，试题“在△OAB中，（1）若C为直线AB上一点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。