中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，求这两

题文

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F₁，F₂，|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求PF1•PF2的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，半焦距c=13，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为37=13a13a-4，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于49-13=6，双曲线虚半轴的长为13-9=2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
x249+y236=1和 x29-y24=1．
（2）由椭圆的定义得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=213，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(213)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=45．
则PF1•PF2=|PF1|•|PF2|cos∠F₁PF₂=10×4×45=32．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。