已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足PF1•PF2=0，|PF1|=2|PF2|．求

题文

（理）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，满足PF1•PF2=0，|PF1|=2|PF2|．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点，当OQ•OR=-274，2PQ=-PR时，求双曲线的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）不妨设P为双曲线上右支一点
∵PF1•PF2=0，
∴PF1⊥PF2
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2
∵|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a．
∴|PF2|=2a，|PF1|=4a
∴4a²+16a²=4c²
∴a=15c
∴e=ca=5
∴双曲线的离心率为5；
（Ⅱ）不妨设P为双曲线上右支一点，坐标为（x，y），（y＞0）则根据第二定义可得2ax-a2c=ca
∴2a=ex-a，又双曲线的离心率为5；
∴x=3a5
代入双曲线方程可得(3a5)2a2-y2b2=1，∴y=2b5
∴P(3a5，2b5)
∵PF1•PF2=0
∴(3a5)2+(2b5)2-c2=0
∴b=2a
∴P(3a5，4a5)
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
∵双曲线的渐近线方程为：y=±bax=±2x，过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点
∴Q（x₁，2x₁），R（x₂，-2x₂）
∵OQ•OR=-274
∴x1x2=94
∵2PQ=-PR
∴2(x1-3a5，2x1-4a5)=-(x2-3a5，-2x2-4a5)
∴2x1+x2=9a5，2x1-x2=6a5
∴x1=35a4，x2=35a10
∴35a4× 35a10=94
∴a²=2
∴b²=8
∴双曲线的方程为x22-y28=1

解析

PF1

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知双曲线x2a2-y2b2=1(.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。