已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为63，椭圆短轴长为2153．求椭圆C的方程；已知动直线y=k与椭圆C相交于A、B

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为2153．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-12，求斜率k的值；
②若点M（-73，0），求证：MA•MB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）满足a²=b²+c²①，
由ca=63②，2b=2153③．联立①②③，
解得a²=5，b2=53，
所以椭圆方程为x25+y253=1．
（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入x25+y253=1中，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，x1+x2=-6k23k2+1，
因为AB中点的横坐标为-12，所以-6k23k2+1=-12，解得k=±33，
（2）由（1）知x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1，
所以MA•MB=（x₁+73，y₁）（x2+73，y₂）=（x1+73）（x2+73）+y₁y₂
=（x1+73）（x2+73）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（73+k²）（x₁+x₂）+499+k²
=（1+k²）3k2-53k2+1+（73+k2）（-6k23k2+1）+499+k²=49；

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。