过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．求证：OA•OB为定值．若OB=AM，求动点M的轨迹方程．

题文

过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：OA•OB为定值．（2）若OB=AM，求动点M的轨迹方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解．（1）∵双曲线y23-x2=1的上支可表示为函数y=3+3x2，且y′=12×6x3+3x2=3x3+3x2
设P（x₀，y₀）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y₀=3x 03+3x 02（x-x₀）
即y-y₀=3x 0y0（x-x₀），即y₀y-3x₀x=3，
与渐近线方程y=3x联立，解得A(3y0-3x0，3y0-3x0)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±3x0≠0）；
与渐近线y=-3x联立，解得B(-3y0+3x0，3y0+3x0)，
∴OA•OB=-3y20-3x20+9y20-3x20=-33+93=2（定值）
（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由OB=AM知OM=OA+OB，由（1）有
x=3y0-3x0+-3y0+3x0y=3y0-3x0+3y0+3x0
即x0=x2y0=y2
再由P（x₀，y₀）在双曲线y23-x2=1 （y＞0）上
∴y203-x20=1，
∴y243-x24=1
故所求轨迹为y212-x24=1(y＞0)．

解析

y23

考点

据考高分专家说，试题“过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。