过点直线l交抛物线y2=4x于A，B两点，抛物线的顶点是O．证明：OA•OB为定值；若AB中点横坐标为2，求A

题文

过点（1，0）直线l交抛物线y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线的顶点是O．
（ⅰ）证明：OA•OB为定值；
（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（ⅰ）设直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4，∴x1x2=y214•y224=1，
∴OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=-3为定值；
（ⅱ） l与X轴垂直时，AB中点横坐标不为2，
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵AB中点横坐标为2，∴2(k2+2)k2=4，∴k=±2，
l的方程为y=±2(x-1)．
|AB|=x₁+x₂+2=2(k2+2)k2=4+2=6，AB的长度为6．

解析

y214

考点

据考高分专家说，试题“过点（1，0）直线l交抛物线y2=4x于.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。