已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A．求圆C的方程；若斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的

题文

（2007广州市水平测试）已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，求AM•AN的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（1）解法一：设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率k_AC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率kOA=42=2，
∴直线OA的垂直平分线为y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0．
解方程组x+y-6=0x+2y-5=0得圆心C的坐标为（7，-1）．
圆的半径为r=|AC|=(7-2)2+(-1-4)2=52，
圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
解法二：设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
依题意得(2-a)2+(4-b)2=r2|a-b+2|2=ra2+b2=r2，
解得a=7b=-1r=52圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
解法三：设圆心C的坐标为（a，b）．
依题意得b-4a-2×1=-1a2+b2=(a-2)2+(b-4)2，
解得a=7b=-1，
∴圆心C的坐标为（7，-1）．
∴圆C的半径为r=|OC|=72+(-1)2=52．圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）设直线l的方程为y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由y=-x+m(x-7)2+(y+1)2=50，
消去y得2x²-（2m+16）x+m²+2m=0．
∴x1+x2=m+8， x1x2=m2+2m2．
∴AM•AN=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-4）（y₂-4）=（x₁-2）（x₂-2）+（-x₁+m-4）（-x₂+m-4）=2x1x2-(m-2)(x1+x2)+(m-4)2+4=m²+2m-（m-2）（m+8）+（m-4）²+4=m²-12m+36=（m-6）²．
∵直线l与圆C相交于不同两点，
∴|7-1-m|2＜52．
∴-4＜m＜16．
∴AM•AN的取值范围是[0，100）．…（14分）

解析

42

考点

据考高分专家说，试题“（2007广州市水平测试）已知圆C经过坐.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。