已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)，求与a平行的单位向量c；设x=a+(t2+3)b，y=-k•ta+b，若存在t∈[0，2]使得x⊥y

题文

已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)，
（I）求与a平行的单位向量c；
（II）设x=a +(t2+3)b，y=-k•ta+b，若存在t∈[0，2]使得x⊥y成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设向量c=（x，y），
则有x+3y=0x2+y2=1；
解可得x=32y=-12或x=-32y=12，
则c=（32，-12）或（-32，12）；
（II）根据题意，易得|a|=2，|b|=1，且a•b=0；
由x⊥y可得-kt|a|²+（t²+3）|b|²=0，
即t²-4kt+3=0，
问题转化为方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，
则当t=0时，方程t²-4kt+3=0不成立，所以t≠0，
此时k=14（t+3t）≥32，当且仅当t=3t时取到等号，
故k的取值范围是[32，+∞）．

解析

c

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(3，-1)，b=(12，3.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。