已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P且不垂直于x轴直线

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求OA•OB的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，ca=12，62=b即b=3
又a²=b²+c²
∴a=2，b=3
故椭圆的方程为x24+y23=1（2分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）
由y=k(x-4)x24+y23=1可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0（4分）
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则△=32²k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0
∴0≤k2＜14（6分）
∴x₁+x₂=32k23+4k2，x₁x₂=64k2-123+4k2①
∴.OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•64k2-123+4k2-4k2•32k23+4k2+16k2
=25-874k2+3
∵0≤k2＜14
∴-873≤-874k2+3＜-874
∴-4≤25-874k2+3＜134
∴OA•OB∈[-4，134）
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x₂，-y₂）
∴直线AE的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1)
令y=0可得x=x1-y1(x1-x2)y1+y2
∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）
∴x=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=2×64k2-123+4k2-4×32k23+4k232k23+4k2-8=1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。