已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P的直线L与椭圆C相

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；   
（2）求OA•OB的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知 e=ca=12，∴e²=c2a2=a2-b2a2=14，即a²=43b²
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切
∴b=61+1=3，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为x24+y23=1
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜14             
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则x₁+x₂=32k23+4k2，x₁x₂=64k2-123+4k2
∴OA•OB=x1x2+y1y2=(1+k2)•64 k2-124k2+3-4k2•32k24k2+3+16k2=25-874k2+3
∵0≤k2＜14，
∴OA•OB∈[-4，134)
∴OA•OB的取值范围是[-4，134)

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。