已知椭圆C1：x24+y2=1，双曲线C2：x23-y2=1．若直线l：y=kx+2与椭圆C1、双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两交点A、B满足OA

题文

已知椭圆C₁：x24+y2=1，双曲线C₂：x23-y2=1．若直线l：y=kx+2与椭圆C₁、双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两交点A、B满足OA•OB＜6（其中O为原点），求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

将y=kx+2代入x24+y2=1得，(1+4k2)x2+82kx+4=0，
由判别式 △1=(82k)2-16(4k2+1)＞0，解得 k2＞14 ①．
将y=kx+2代入x23-y2=1得，（1-3k²）x²-62kx-9=0，
由l与C₂ 有两个不同的交点可得 1-3k2≠ 0△2=(- 62k)2+36(1-3k2)＞0，解得 k²≠13，且k²＜1  ②，
根据 OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+2k(x1+x2)+2=3k2+73k2-1＜6，
解得k2＞1315，或k2＜13  ③．  由①②③得14＜k2＜13，或1315＜k2＜1．
故k的取值范围为：(-1，-1315)∪(-33，-12)∪(12，33)∪(1315，1)．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C1：x24+y2=1，双曲线C.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。