过抛物线y2=2px焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA•OB的值是A．34p2B．-34p2C．3p2D．-3p2

题文

过抛物线y²=2px焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA•OB的值是（ ）A．34p2B．-34p2C．3p²D．-3p² 题型：未知 难度：其他题型

答案

若直线l垂直于x轴，则 A(p2，p)，B(p2，-p).OA•OB=(p2)2-p2=-34p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x-p2)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由 y=k(x-p2)y2=2px⇒k2x2-p(2+k2)x+p24k2=0
∴x1+x2=(2+k2)k2p，x1•x2=p24．…（4分）
∴OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-p2)(x2-p2)=(1+k2)x1x2-p2k2(x1+x2)+p2k24=(1+k2)p24-p2k2•(2+k2)pk2+p2k24=-34p2．
综上，OA•OB=-34p2为定值．…（6分）
故选B．

解析

p2

考点

据考高分专家说，试题“过抛物线y2=2px焦点的直线交抛物线于.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。