题文
在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：|MA+MB|=4-12OM•(OA+OB)．（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN．试探究kPM•kPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，|MP|取得最小值，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意，可得∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴MA+MB=(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y)，
由此可得，|MA+MB|=(-2x)2+(2-2y)2=4x2+4y2-8y+4，
又∵|MA+MB|=4-12OM•(OA+OB)，且4-12OM•(OA+OB)=4-12(x，y)•(0，2)=4-y，
∴4x2+4y2-8y+4=4-y，
化简整理得：x23+y24=1，即为所求曲线C的方程．
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴x23+y24=1，…①．x203+y204=1，…②
①-②，得y2-y20x2-x20=-43．
又∵kPM=y-y0x-x0，kPN=y+y0x+x0，
∴kPM•kPN=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y20x2-x20=-43，
因此，kPM•kPN的值恒等于-43，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）由于P（x，y）在椭圆C：x23+y24=1上运动，可得x2=3-34y2且-2≤y≤2
∵MP=（x，y-m），
∴|MP|=x2+(y-m)2=14y2-2my+m2+3=14(y-4m)2-3m2+3
由题意，点P的坐标为（0，2）时，|MP|取得最小值，
即当y=2时，|MP|取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得m≥12．
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴12≤m≤2，实数m的取值范围是[12，2]．
解析
MA考点
据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。
