已知圆C：2+2=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点若弦AB的长为22，求直线l的方程；求证：OA•OB为定值．

题文

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为22，求直线l的方程；
（2）求证：OA•OB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设直线方程y=kx，所以(|k-3|1+k2)2+(2)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时OA•OB=6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y=kx(x-1)2+(y-3)2=4
消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）
OA•OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=61+k2
所以OA•OB=6
综上：OA•OB=6…（11分）

解析

|k-3|1+k2

考点

据考高分专家说，试题“已知圆C：（x-1）2+（y-3）2=4.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。