函数f是由向量集A到A的映射f确定，且f=x-2a，若存在非零常向量a使f[f]=f恒成立．求|a|；设AB=a，

题文

函数f（x）是由向量集A到A的映射f确定，且f（x）=x-2（x•a）a，若存在非零常向量a使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求|a|；
（2）设AB=a，A（1，-2），若点P分AB的比为-13，求点P所在曲线的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f[f （x）]=f （x）-2[f （x）•a]•a（x为向量）
=x-2（x•a）•a-2{[x-2（x•a）•a]•a}•a
=x-2（x•a）•a-2[x•a-2（x•a）a2]•a=x-2（x•a）•a
∴[x•a-2（x•a）•a2]•a=0，∵a≠0．
∴x•a-2（x•a）•a2=0，∴x•a（1-2a2）=0恒成立
∴1-2a2=0，∴a2=12，∴|a|=22．
（2）设B（x′，y′），∴AB=（x′-1，y′+2），
∴（x′-1）²+（y′+2）²=12，
设P（x，y） 由AP=-13PB，∴（x-1，y+2）=-13（x′-x，y′-y）
∴x-1=-13(x′-x)y+2=-13(y′-y)，解得x′=-2x+3y′=-2y-6，
∴（-2x+3-1）²+（-2y-6+2）²=12
∴（x-1）²+（y+2）²=18，即为P点所在曲线的方程．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）是由向量集A到A的映射f确定.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。