已知抛物线y2=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．若直线l与抛物线交于两点A、B，且OM⊥AB，求动点M的轨迹方程；（

题文

已知抛物线y²=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．
（1）若直线l与抛物线交于两点A、B，且OM⊥AB（O是坐标原点，M是垂足），求动点M的轨迹方程；
（2）若C、D两点在抛物线y²=4x上，且满足OC•OD=-4，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设动点M的坐标为（x，y）．                  
∵抛物线y²=4x的焦点是F（1，0），直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，
又OM⊥AB，
∴OM⊥FM，即OM•FM=0．                   
∴（x，y）•（x-1，y）=0，化简，得x²+y²-x=0． 
又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故x≠0．
∴所求动点M的轨迹方程是x²+y²-x=0（x≠0）．
（2）设点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵C、D在抛物线y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x1+x2=y21+y224，x1x2=y21y2216．
又OC•OD=-4，
∴x1x2+y1y2=-4，即y21y2216+y1y2=-4，解得y1y2=-8．    
∵点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴直线CD的一个法向量是n=(y1-y2，x2-x1)，
可得直线CD的方程为：（y₁-y₂）（x-x₁）+（x₂-x₁）（y-y₁）=0，
化简，得（y₁-y₂）x+（x₂-x₁）y+x₁y₂-y₁x₂=0，进一步用y₁、y₂分别替换x₁、x₂，有(y1-y2)x+y1+y24(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．
又抛物线y²=4x上任两点的纵坐标都不相等，即y₁-y₂≠0．
∴直线CD的方程可化为x-y1+y24y-2=0．  
∴直线CD恒过定点，且定点坐标为（2，0）．

解析

OM

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y2=4x，F是焦点，直线l是.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。