已知平面上一定点C和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(PQ+2PC)(PQ-2PC)=0．问点P在什么曲线上，

题文

已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(PQ+2PC)(PQ-2PC)=0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若OA+λOB=(1+λ)OC，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由(PQ+2PC)•(PQ-2PC)=0，得：PQ2-4PC2=0，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化简得：x24+y23=1，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为x24+y23=1．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由OA+λOB=(1+λ)OC得：CA+λCB=0，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：x1=-1-λ-λx2y1=-λy2…（8分）
因为x124+y123=1，所以(-1-λ-λx2)24+(-λy2)23=1①…（9分）
又因为x224+y223=1，所以(λx2)24+(λy2)23=λ2②…（10分）
由①-②得：2λ(λ+1)x2+(λ+1)24=1-λ2，化简得：x2=3-5λ2λ，…（12分）
因为-2≤x₂≤2，所以-2≤3-5λ2λ≤2．
解得：13≤λ≤3所以λ的取值范围为[13，3]．…（14分）

解析

PQ

考点

据考高分专家说，试题“已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。