抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1=0上求抛物线的标准方程过中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交

题文

抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1=0（x≥0）上
（1）求抛物线的标准方程
（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出FC•FDFM2的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，
∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）
当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x²=4y．
（2）设A(x1，x214)，B(x2，x242)
过抛物线A，B两点的切线方程分别是y=x12x-14x12，y=x22x-x242
其交点坐标M(x1+x22，y1+y22)
设AB的直线方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x1x2=-4，M(x1+x22，-1)，所以点M的轨迹为y=-1
∵FC=(x1，x214-1)，FD=(x2，x224-1)
∴FC•FD=x1x2+(x214-1)(x224-1)=-14(x21+x22)-2
而FM2=(x1+x22-0)2+(-1-1)2=14(x21+x22)+2
∴FC•FDFM2=-1．

解析

x214

考点

据考高分专家说，试题“抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。