已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．设FA•FB=89，则△BDK的内切圆的半径r=_

题文

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．设FA•FB=89，则△BDK的内切圆的半径r=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁）．
抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，代入抛物线方程，整理得y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
FA•FB=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=89，
∴m2=169
∴m=±43
∴y₂-y₁=4m2-1=473，
∴BD的斜率k₁=y2+y1x2-x1=4y2-y1=37，
∴BD：y=37（x-1）．
圆心M在x轴上，设为（a，0），
∵M到x=43 y-1和到BD的距离相等，∴|a+1|×35=|37（a-1）|×74，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=19．
∴半径r=23，
故答案为：23．

解析

FA

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。