已知圆C经过点P1，P2，P3，斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．求圆C的方程当OC

题文

已知圆C经过点P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）当OC•OG取得最大值时，求直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设圆C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
则1+D+F=01+4+D+2E+F=04+1+2D+E+F=0，解得D=-2E=-2F=1
∴圆C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成标准形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由y=kxx2+y2-2x-2y+1=0，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由题意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=2(1+k)1+k2，即x0=(1+k)1+k2，y0=k(1+k)1+k2
∴点G((1+k)1+k2，k(1+k)1+k2)
又∵OC=(1，1)（9分）
∴OC•OG=k+1k2+1+k2+kk2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1=1+2k+1k
∵2k+1k≤22k•1k=1，∴OC•OG=1+2k+1k≤2（13分）
因此，可得当k=1k即k=1时，OC•OG取得最大值是2（13分）
此时直线l的方程为y=x（14分）

解析

1+D+F=01+4+D+2E+F=04+1+2D+E+F=0

考点

据考高分专家说，试题“已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。