已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=π2．求椭圆Γ的方程；若M、N是椭

题文

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=π2．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足OM•ON=0，求|MN|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，设直线l：x+3y=3与椭圆Γ：x2a2+y2b2=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=π2，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=3（1-y₁），x₂=3（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁＞y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：y1=0y2=1或y1=12y2=32，
∴A（32，12），B（-32，32）或A（3，0），B（0，1），
又A（32，12），B（-32，32）不合题意，舍去．
∴A（3，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为x23+y²=1．
（2）由题意知M、N是椭圆x23+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（cos2θ3+sin²θ）=1，r₂²（sin2θ3+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（1r21+1r22）=2+r21r22+r22r21≥4，
从而|MN|²•43≥4，即|MN|≥3，
故所求|MN|的最小值为3．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。