已知定点C及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．若线段AB中点的横坐标是-12，求直线AB的方程；设点M的坐标为

题文

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是-12，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为(-73，0)，求MA•MB的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1)x1+x2=-6k23k2+1．(2)
由线段AB中点的横坐标是-12，得x1+x22=-3k23k2+1=-12，
解得k=±33，适合（1）．
所以直线AB的方程为x-3y+1=0，或x+3y+1=0．
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1．(3)
所以MA•MB=(x1+73)(x2+73)+y1y2=(x1+73)(x2+73)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+73)(x1+x2)+k2+499.
将（3）代入，整理得MA•MB=(k2+1)(3k2-5)+(k2+73)(-6k2)3k2+1+k2+499=49.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，23)、(-1，-23)，
此时亦有MA•MB=49.
综上，MA•MB=49.

解析

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1)x1+x2=-6k23k2+1．(2)

考点

据考高分专家说，试题“已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。