已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x=22的距离之比为22．求动点P的轨迹C的方程；设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点

题文

已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x=22的距离之比为22．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM•FN=0，求|MN|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设点P（x，y），
依题意，有(x-2)2+y2|x-22|=22．
整理，得x24+y22=1．
所以动点P的轨迹C的方程为x24+y22=1．
（2）∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(-2，0)．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(22，y1)，N(22，y2)（不妨设y₁＞y₂）．
∵EM•FN=0，
∴(32，y1)•(2，y2)=0．
即6+y₁y₂=0．即y2=-6y1．
由于y₁＞y₂，则y₁＞0，y₂＜0．
∴|MN|=y1-y2=y1+6y1≥2y1•6y1=26．
当且仅当y1=6，y2=-6时，等号成立．
故|MN|的最小值为26．

解析

(x-2)2+y2|x-22|

考点

据考高分专家说，试题“已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。