已知点B，C，P是平面上一动点，且满足|PC|•|BC|=PB•CB求点P的轨迹C对应的方程；已知点A在曲线C上，过

题文

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|PC|•|BC|=PB•CB
（Ⅰ）求点P的轨迹C对应的方程；
（Ⅱ）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设P(x，y)代入|.PC|•|.BC|=.PB•.CB得(x-1)2+y2=1+x，化简得y2=4x．（4分）
（II）将A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴点A的坐标为（1，2）．（5分）
设直线DE的方程为x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）（6分）
∴AD•AE=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=y214•y224-(y214+y224)+y1•y2-2(y1+y2)+5=(y1•y2)216-(y1+y2)2-2y1•y24+y1•y2-2(y1+y2)+5=(-4t)216-(4m)2-2(-4t)4+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t2-6t+5=4m2+8m
即t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0（7分）
∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5
∴直线DE过定点（5，-2）（8分）

解析

.PC

考点

据考高分专家说，试题“已知点B（-1，0），C（1，0），P是.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。