已知圆锥曲线C：x216+y2t2-2t=1，其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上．试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；（2

题文

已知圆锥曲线C：x216+y2t2-2t=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足PF1•PF2=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，
当t2-2t＞0t2-2t＜16，即t∈(1-17，0)∪(2，1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
当t²-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．
（2）满足PF1•PF2=0的P在以F₁F₂为直径的圆周上
当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个
当t∈(1-17，0)∪(2，1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
此时a²=16，b²=t²-2t，c²=16-（t²-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个
若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个
若b＞c，即t∈(1-17，-2)∪(4，1+17)时，P不存在．

解析

t2-2t＞0t2-2t＜16

考点

据考高分专家说，试题“已知圆锥曲线C：x216+y2t2-2t.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。