设向量a=(cos3θ2，sin3θ2)，b=(cosθ2，-sinθ2)，其中θ∈[0，π3]．求a•b|a+b|的最大值和最小值；若|ka+b|

题文

设向量a=(cos3θ2，  sin3θ2)，b=(cosθ2，  -sinθ2)，其中θ∈[0，  π3]．
（1）求a•b|a+b|的最大值和最小值；
（2）若|ka+b|=3|a-kb|，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a•b=(cos3θ2，  sin3θ2)•(cosθ2，  -sinθ2)=cos3θ2cosθ2-sin3θ2sinθ2=cos2θ．
|a+b|=(a+b)2=2cosθ
于是a•b|a+b|=cos2θ2cosθ=2cos2θ-12cosθ=cosθ-12cosθ．
因为θ∈[0，  π3]，所以cosθ∈[12，  1]．
故当cosθ=12即θ=π3时，a•b|a+b|取得最小值-12；当cosθ=1即θ=0时，a•b|a+b|取得最大值12．
（2）由|ka+b|=3|a-kb|得|ka+b|2=3|a-kb|2⇔k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ⇔cos2θ=k2+14k．
因为θ∈[0，  π3]，所以-12≤cos2θ≤1．
不等式-12≤k2+14k≤1⇔(k-1)24k≥0   k2-4k+14k≤0
解得2-3≤k≤2+3或k=-1，
故实数k的取值范围是[2-3，  2+3]∪{-1}．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设向量a=(cos3θ2，sin3θ2).....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。