抛物线x2=8y的准线与坐标轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，P为MN中点，且•MN=0．求|OB|的取

题文

抛物线x²=8y的准线与坐标轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，P为MN中点，且（BM+MP）•MN=0．
（1）求|OB|的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出点B；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）抛物线为x²=8y，准线为y=-2，
∴A（0，-2）．
MN的中点为P，∵（BM+MP）•MN=0，
∴BP•MN=0，∴PB垂直平分线段MN，
设MN为：y=kx-2，与x²=8y联立，得
x²-8kx+16=0．
x_M+x_N=8k，x_Mx_N=16．
由△＞0⇒64k²-4×16＞0⇒k²＞1．
又点P坐标为：xP=xM+xN2=8k2=4k，yP=kxP-2=4k2-2．
∴直线PB方程为：y-4k2+2=-1k(x-4k)．
令x=0，得y=2+4k²＞6，∴|OB|的取值范围是（6，+∞）；
（2）存在点B（0，10）为所求．
事实上，若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．
因为由（1）知PB垂直平分线段MN，
所以|BP|=|MN|2，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2=4k2+1．
12|MN|=121+k2(xM+xN)2-4xMxN
=121+k264k2-64=4k4-1．
∴4k2+1=4k4-1．
解得，k²=2，
∴点B（0，10）为所求．

解析

BM

考点

据考高分专家说，试题“抛物线x2=8y的准线与坐标轴交于A点，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。