设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的最大值和最小值；设过定点M的直线l与椭圆交

题文

设F₁、F₂分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）椭圆x24+y2=1中，a=2，b=1，c=3，
∴F1(-3，0)，F2(3，0)，
设p（x，y），则PF1•PF2=(-3-x，-y)•(3-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1•PF2有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1•PF2有最大值1．
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立y=kx+2x24+y2=1，消去y，得(k2+14)x2+4kx+3=0，
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+14)×3=4k²-3＞0，
解得k＞32，或k＜-32．

解析

x24

考点

据考高分专家说，试题“设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。