已知圆M的方程为2+y2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．若∠APB=60°，试求点P的

题文

已知圆M的方程为（x-2）²+y²=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求PA•PB的最小值；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得m=0，m=45．
故所求点P的坐标为P（0，0）或（45，85）．  …（4分）
（2）设P（m，2m），则PA•PB=|PA|2cos∠PAB．
又|PA|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2∠PAB2=1-2PM2，
∴PA•PB=|PA|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-2PM2)=PM2+2PM2-3．…（7分）
又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[165，+∞)，
∴PA•PB=|PA|2cos∠PAB=PM2+2PM2-3=(PM-2PM)2-1∈[3340，+∞)，
故PA•PB的最小值3340．                                  …（10分）
（3）证明：设P（m，2m），MP的中点Q(m2+1，m)，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为(x-m2-1)2+(y-m)2=m2+(m2-1)2，
化简得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故x2+y2-2x=0-x-2y+2=0解得x=2y=0或x=25y=45.
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和(25，45)．         …（16分）

解析

45

考点

据考高分专家说，试题“已知圆M的方程为（x-2）2+y2=1，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。