已知向量a=(cos32x，sin32x)，b=(cos12x，sin12x)，x∈[0，π]．当x=π4时，求a•b及|a+b|的值；求f(x)=

题文

已知向量a=(cos32x，sin32x)，b=(cos12x，sin12x)，x∈[0，π]．
（1）当x=π4时，求a•b及|a+b|的值；
（2）求f(x)=m|a+b|-a•b（m∈R）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=(cos32x，sin32x)，b=(cos12x，sin12x)
∴a•b=cos32xcos12x+sin32xsin12x=cos(32x-12x)=cosx
∴x=π4时，a•b=22，
又|a+b|2=a2+b2+2a•b=2+2cosx
∴x=π4时，|a+b|=2+2
（2）∵x∈[0，π]，∴0≤cosx2≤1
∴f(x)=m|a+b|-a•b=2m|cosx2|-cosx=-2cos2x2+2mcosx2-1
令t=cosx2（0≤t≤1）则f（x）=-2t²+2mt-1=-2(t-m2)2+m22-1
∴当m2＞1即m＞2时，此时t=1，f（x）_max=2m-3
当0≤m2≤1即0≤m≤2时，此时t=m2，f(x)max=m22-1
当m2＜0即m＜0时，此时t=0，f（x）_max=-1
∴f(x)max=2m-3(m＞2)m22-1(0≤m≤2)-1(m＜0)

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(cos32x，sin32x.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。