已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，AF1•F1F2=0，cos∠F1AF2=35，|F1F2|=2，过点

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，AF1•F1F2=0，cos∠F1AF2=35，|F1F2|=2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得QP•MP=PQ•MQ，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意∠AF₁F₂=90°，cos∠F1AF2=35，
又|F1F2|=2，
所以|AF1|=32，|AF2|=52，2a=|AF1|+|AF2|=4，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即所求椭圆方程为x24+y23=1．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由x24+y23=1y=k(x-1)消y得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3，故x0=x1+x22=4k24k2+3，
又点N在直线PQ上，所以N(4k24k2+3，-3k4k2+3)．
由QP•MP=PQ•MQ，可得PQ•(MQ+MP)=2PQ•MN=0，即PQ⊥MN，
所以kMN=0+3k4k2+3m-4k24k2+3=-1k，整理得m=k24k2+3=14+3k2∈(0，14)，
所以在线段OF₂上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，14)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。