已知点P与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为．求点P的轨迹方程；过点Q的直线与点P的轨迹交

题文

已知点P（x，y）与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证CE•CF为常数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分12分）
（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为yx+2与yx-2，（x≠±2），…（2分）
∵点P（x，y）与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，
∴yx+2• yx-2=1，
即y²=x²-2，…（4分）
所求点P的轨迹方程为x²-y²=2，（x≠±2）．…（5分）
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）
将它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韦达定理，得x1+x2=4k2k2-1x1x2=4k2+2k2-1，…（8分）
∴CE•CF=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•4k2+2k2-1-（1+2k²）•4k2k2-1+1+4k²
=-1．    …（10分）
当直线斜率不存在时，
x2-y2=2x=2，解得E（2，2），F（2，-2），
此时CE•CF=(1，2)•(1，-2)=-1．    …（12分）
故CE•CF=-1．
所以CE•CF为常数-1．…（12分）

解析

yx+2

考点

据考高分专家说，试题“已知点P（x，y）与点A(-2，0)，B.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。