已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为22，且短轴长为2．求椭圆的方程；若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且OA•OB=23，S△AOB=23，求直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）短轴长2b=2，b=1，e=ca=22
又a²=b²+c²，所以a=2，c=1，所以椭圆的方程为x22+y2=1
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）y=kx+mx2+2y2=2，
消去y得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0x1+x2=-4mk1+2k2x1•x2=2m2-21+2k2，OA•OB=x1x 2+y1y 2=23
即3m2-2k2-21+2k2=23即9m²=10k²+8S△AOB=12|m||x1-x2|=12m2[(x1+x2)2-4x1x2]=128m2(1+2k2-m2)(1+2k2)2=23
即9m²（1+2k²-m²）=（1+2k²）²
9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)29m2=10k2+8，
解得k²=1，m²=2，所以y=±x±2

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。